線形代数例

$[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}]$

ステップ 1

公式を設定し特性方程式 $p (λ)$ を求めます。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$

ステップ 2

サイズ $2$ の単位行列または恒等行列は $2 \times 2$ 正方行列で、主対角線上に1があり、その他の部分に0があります。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 3

既知の値を $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}]$ を $A$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}] - λ I_{2})$

ステップ 3.2

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ を $I_{2}$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$- λ$ に行列の各要素を掛けます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.2.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.3.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

ステップ 4.2

対応する要素を足します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3

Simplify each element.

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ステップ 4.3.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 3 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.2

$3$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 3 & 4 - λ \end{array}]$

ステップ 5

Find the determinant.

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ステップ 5.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = (2 - λ) (4 - λ) - 3 \cdot 1$

ステップ 5.2

行列式を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(2 - λ) (4 - λ)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 2 (4 - λ) - λ (4 - λ) - 3 \cdot 1$

ステップ 5.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 2 \cdot 4 + 2 (- λ) - λ (4 - λ) - 3 \cdot 1$

ステップ 5.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 2 \cdot 4 + 2 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

ステップ 5.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 5.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.2.1.1

$2$ に $4$ をかけます。

$p (λ) = 8 + 2 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

ステップ 5.2.1.2.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$p (λ) = 8 - 2 λ - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

ステップ 5.2.1.2.1.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 8 - 2 λ - 4 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

ステップ 5.2.1.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = 8 - 2 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 1$

ステップ 5.2.1.2.1.5

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

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ステップ 5.2.1.2.1.5.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = 8 - 2 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 1$

ステップ 5.2.1.2.1.5.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 8 - 2 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 1$

ステップ 5.2.1.2.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 8 - 2 λ - 4 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 1$

ステップ 5.2.1.2.1.7

$λ^{2}$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 8 - 2 λ - 4 λ + λ^{2} - 3 \cdot 1$

ステップ 5.2.1.2.2

$- 2 λ$ から $4 λ$ を引きます。

$p (λ) = 8 - 6 λ + λ^{2} - 3 \cdot 1$

ステップ 5.2.1.3

$- 3$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 8 - 6 λ + λ^{2} - 3$

ステップ 5.2.2

$8$ から $3$ を引きます。

$p (λ) = - 6 λ + λ^{2} + 5$

ステップ 5.2.3

$- 6 λ$ と $λ^{2}$ を並べ替えます。

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ + 5$

ステップ 6

特性多項式を $0$ と等しくし、固有値 $λ$ を求めます。

$λ^{2} - 6 λ + 5 = 0$

ステップ 7

$λ$ について解きます。

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ステップ 7.1

たすき掛けを利用して $λ^{2} - 6 λ + 5$ を因数分解します。

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ステップ 7.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $5$ で、その和が $- 6$ です。

$- 5, - 1$

ステップ 7.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(λ - 5) (λ - 1) = 0$

ステップ 7.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$λ - 5 = 0$

$λ - 1 = 0$

ステップ 7.3

$λ - 5$ を $0$ に等しくし、 $λ$ を解きます。

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ステップ 7.3.1

$λ - 5$ が $0$ に等しいとします。

$λ - 5 = 0$

ステップ 7.3.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$λ = 5$

ステップ 7.4

$λ - 1$ を $0$ に等しくし、 $λ$ を解きます。

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ステップ 7.4.1

$λ - 1$ が $0$ に等しいとします。

$λ - 1 = 0$

ステップ 7.4.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$λ = 1$

ステップ 7.5

最終解は $(λ - 5) (λ - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$λ = 5, 1$

線形代数 例

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